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計算物理屋の研究備忘録

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ルジャンドル(Legendre)多項式

目次

ルジャンドル多項式

ルジャンドル陪関数で { \displaystyle m=0}としたものがルジャンドル多項式
ルジャンドル(Legendre)陪関数 - 計算物理屋の研究備忘録

 { \displaystyle
P_0 (x)=1
}
 { \displaystyle
P_1 (x)=x
}
 { \displaystyle
P_2 (x)=\frac{1}{2}(3x^{2}-1)
}
 { \displaystyle
P_3 (x)=\frac{1}{2}(5x^{3}-3x)
}

一般に、
 { \displaystyle
P_l (x)=\frac{1}{2^{l}l!}\frac{d^{l}}{dx^{l}}(x^{2}-1)^{l}
}  (ロドリゲスの公式)

 { \displaystyle
(l=0, 1, 2\cdots)
}

微分方程式

次の微分方程式を満たす多項式ルジャンドル多項式の定義。

 { \displaystyle
\frac{d}{dx}((1-x^{2})\frac{dP_l}{dx})+l(l+1)P_l=0
}

 { \displaystyle \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{x}|}}の展開係数

ウィキペディアによると、もともとルジャンドル多項式は、クーロンポテンシャルや重力ポテンシャルに出てくる2点間の距離の逆数の展開係数として登場した。
 { \displaystyle
\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{x}|}=\frac{1}{r} \sum_{l=0}^{\infty} (\frac{x}{r})^{l} P_l (\cos \theta)
}

もう少しちゃんと途中式を書くと、 r >  xとして
 { \displaystyle
\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{x}|}=\frac{1}{\sqrt{r^{2}+x^{2}-2rx\cos \theta}}
}

 { \displaystyle
=\frac{1}{\sqrt{r^{2}+x^{2}-2rx\cos \theta}}
}

 { \displaystyle
=\frac{1}{r}\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{x}{r})^{2}-2(\frac{x}{r})\cos \theta}}
}

 { \displaystyle \frac{1}{r}}以降のルートを含んだ分数の部分を、 { \displaystyle (\frac{x}{r})}のべき級数に展開する

 { \displaystyle
=\frac{1}{r}(1+\cos \theta (\frac{x}{r}) + \frac{1}{2}(3\cos^{2}\theta - 1)(\frac{x}{r})^{2} + \frac{1}{2}(5\cos^{3}\theta - 3\cos \theta)(\frac{x}{r})^{3}+\cdots)
}

すると展開係数が { \displaystyle x=\cos \theta}としたときのルジャンドル多項式になっていて、上に書いた式が得られる。

直交関数系

ルジャンドル多項式は直交関数系をなす。この証明は砂川先生の理論電磁気学などに載っている。
 { \displaystyle
\int_{-1}^{1} P_l (x) P_{l'} (x) dx = \frac{2}{2l+1} \delta_{ll'}
}

 { \displaystyle -1 \le x \le 1 }で任意の関数を以下のように展開できる。(完全系)
 { \displaystyle
f(x) =  \sum_{l=0}^{\infty} A_l P_l (x)
}

展開係数 { \displaystyle A_l}は両辺に { \displaystyle P_{l'}}をかけて積分し、直交性を利用すると、
 { \displaystyle
A_l = \frac{2l+1}{2} \int_{-1}^{1} f(x) P_l (x) dx
}

また規格化すれば、正規直交系となる
 { \displaystyle
\phi_l (x) = \sqrt{\frac{2l+1}{2}} P_l (x)
}