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計算物理屋の研究備忘録

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ルジャンドル(Legendre)陪関数

目次

ルジャンドル陪関数

 { \displaystyle
P_l^m (x)=\frac{1}{2^{l}l!} (1-x^2)^{\frac{m}{2}}\frac{d^{l+m}}{dx^{l+m}}(x^{2}-1)^{l}
}

 { \displaystyle
(-1 \le x \le 1)
}
 { \displaystyle
(l=0, 1, 2\cdots)
}
 { \displaystyle
(-l \le m \le l)
}

ルジャンドル陪関数で、 { \displaystyle m=0}としたものがルジャンドル多項式

ルジャンドル(Legendre)多項式 - 計算物理屋の研究備忘録

ルジャンドルの陪微分方程式

ヘルムホルツ方程式( { \displaystyle (\nabla^2 + k)u=0})を極座標で変数分離するときに出てくる。その解であるルジャンドル陪関数は球面調和関数に出てくることになる。

 { \displaystyle
\frac{d}{dx}((1-x^{2})\frac{dP_l^m}{dx})+(l(l+1)-\frac{m^2}{1-x^2}) P_l^m =0
}

ルジャンドル陪関数の直交性

 { \displaystyle l}に関して直交する。( { \displaystyle m}ではない)
 { \displaystyle
\int_{-1}^{1} P_l^m (x) P_{l'}^m (x) dx = \frac{2}{2l+1} \frac{(l+m)!}{(l-m)!} \delta_{ll'}
}