計算物理屋の研究備忘録

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球ベッセル関数と球ノイマン関数

目次

Spherical Bessel and Neumann functions

中心力問題のシュレーディンガー方程式を変数分離したときの、動径部分の微分方程式の2つの線形独立な解が球ベッセル関数と球ノイマン関数。複雑な式でベッセル関数 { \displaystyle J_{n}(\rho)} から以下のように定義される。

 { \displaystyle
j_l (\rho) = (\frac{\pi}{2\rho})^{1/2} J_{l+1/2}(\rho)
}         (球ベッセル関数)
 { \displaystyle
n_l (\rho) = (-1)^{l+1} (\frac{\pi}{2\rho})^{1/2} J_{-l-1/2}(\rho)
}    (球ノイマン関数)

微分方程式

球対称ポテンシャル(中心力)のシュレーディンガー方程式の動径部分は
 { \displaystyle
-\frac{\hbar^2}{2m} ( \frac{d^2}{dr^2} + \frac{2}{r} \frac{d}{dr} - \frac{l(l+1)}{r^2} )R_l (r) + V(r)R_l (r) = ER_l (r)
}

 { \displaystyle u_E = rR_l (r)}と置くことで、もう少しすっきりして  { \displaystyle
-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 u_E}{dr^2} + (V(r) + \frac{l(l+1)\hbar^2}{2mr^2})u_E = Eu_E
}

自由粒子 { \displaystyle V(r)=0})の場合

上記微分方程式の解は
 { \displaystyle
R(r) = c_1 j_l (\rho) + c_2 n_l (\rho)
}

ここで
 { \displaystyle
\rho = kr, \; k = \sqrt{2mE/\hbar^2}
}

 { \displaystyle r=0} { \displaystyle R(r)}が有限でなければならないので、 { \displaystyle n_l (\rho)}は除かれて(後述するように原点で発散する)、結局のところ

 { \displaystyle
R(r) = c_1 j_l (\rho)
}

井戸型ポテンシャル

井戸内部( { \displaystyle V=ーV_0})では似たような計算から
 { \displaystyle
R(r) = c_3 j_l (\alpha r)
}

ただし
 { \displaystyle
\alpha = \sqrt{2m(V_0 - |E|)/\hbar^2}
}

井戸外部でも基本的には同じであるが、球ベッセル関数と球ノイマン関数を結合させて作った、球ハンケル関数で解を表す。気が向いたら球ハンケル関数も別記事でメモする。

性質

基本的にはどちらも三角関数で構成されている。重要なのは { \displaystyle \rho \to 0}での振る舞い。 { \displaystyle \rho}が大きいところでは振動する。

 { \displaystyle l = 0, 1 ,2}での具体的な式

 { \displaystyle
j_0 (\rho) = \frac{\sin \rho}{\rho}
}
 { \displaystyle
j_1 (\rho) = \frac{\sin \rho}{\rho^2} - \frac{\cos \rho}{\rho}
}
 { \displaystyle
j_2 (\rho) = (\frac{3}{\rho^3} - \frac{1}{\rho})\sin \rho - \frac{3}{\rho^2}\cos \rho
}

 { \displaystyle
n_0 (\rho) = -\frac{\cos \rho}{\rho}
}
 { \displaystyle
n_1 (\rho) = -\frac{\cos \rho}{\rho^2} - \frac{\sin \rho}{\rho}
}
 { \displaystyle
n_2 (\rho) = -(\frac{3}{\rho^3} - \frac{1}{\rho})\cos \rho - \frac{3}{\rho^2}\sin \rho
}

近似式と漸近形

極限 { \displaystyle \rho \to 0}
 { \displaystyle
j_l (\rho) \to \frac{\rho^l}{(2l+1)!!}
}
 { \displaystyle
n_l (\rho) \to -\frac{(2l-1)!!}{\rho^l}
}

ここで
 { \displaystyle
(2l+1)!! \equiv (2l+1)(2l-1)\cdots 5 \cdot 3 \cdot 1
}
ノイマン関数は原点で発散する。

大きな { \displaystyle \rho}の漸近形は
 { \displaystyle
j_l (\rho) \to \frac{1}{\rho} \cos (\rho - \frac{(l+1)\pi}{2})
}
 { \displaystyle
n_l (\rho) \to \frac{1}{\rho}\sin (\rho - \frac{(l+1)\pi}{2})
}

グラフ

pythonで描いたグラフ

keisanbutsuriya.hateblo.jp

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